\begin{equation} \DeclareMathOperator\Gr{Gr} \DeclareMathOperator\LGr{LGr} \DeclareMathOperator\OGr{OGr} \DeclareMathOperator\SGr{SGr} \DeclareMathOperator\Kzero{K_0} \DeclareMathOperator\index{i} \DeclareMathOperator\rk{rk} \end{equation}

Grassmannian.info

A periodic table of (generalised) Grassmannians.

Generalised Grassmannian of type E8/P3

Betti numbers
\begin{align*} \mathrm{b}_{ 1 } &= 1 \\ \mathrm{b}_{ 2 } &= 1 \\ \mathrm{b}_{ 3 } &= 2 \\ \mathrm{b}_{ 4 } &= 3 \\ \mathrm{b}_{ 5 } &= 5 \\ \mathrm{b}_{ 6 } &= 7 \\ \mathrm{b}_{ 7 } &= 11 \\ \mathrm{b}_{ 8 } &= 15 \\ \mathrm{b}_{ 9 } &= 20 \\ \mathrm{b}_{ 10 } &= 27 \\ \mathrm{b}_{ 11 } &= 36 \\ \mathrm{b}_{ 12 } &= 46 \\ \mathrm{b}_{ 13 } &= 59 \\ \mathrm{b}_{ 14 } &= 74 \\ \mathrm{b}_{ 15 } &= 91 \\ \mathrm{b}_{ 16 } &= 112 \\ \mathrm{b}_{ 17 } &= 136 \\ \mathrm{b}_{ 18 } &= 163 \\ \mathrm{b}_{ 19 } &= 193 \\ \mathrm{b}_{ 20 } &= 228 \\ \mathrm{b}_{ 21 } &= 265 \\ \mathrm{b}_{ 22 } &= 308 \\ \mathrm{b}_{ 23 } &= 354 \\ \mathrm{b}_{ 24 } &= 404 \\ \mathrm{b}_{ 25 } &= 456 \\ \mathrm{b}_{ 26 } &= 515 \\ \mathrm{b}_{ 27 } &= 575 \\ \mathrm{b}_{ 28 } &= 640 \\ \mathrm{b}_{ 29 } &= 707 \\ \mathrm{b}_{ 30 } &= 777 \\ \mathrm{b}_{ 31 } &= 847 \\ \mathrm{b}_{ 32 } &= 922 \\ \mathrm{b}_{ 33 } &= 997 \\ \mathrm{b}_{ 34 } &= 1072 \\ \mathrm{b}_{ 35 } &= 1147 \\ \mathrm{b}_{ 36 } &= 1222 \\ \mathrm{b}_{ 37 } &= 1294 \\ \mathrm{b}_{ 38 } &= 1366 \\ \mathrm{b}_{ 39 } &= 1436 \\ \mathrm{b}_{ 40 } &= 1500 \\ \mathrm{b}_{ 41 } &= 1561 \\ \mathrm{b}_{ 42 } &= 1618 \\ \mathrm{b}_{ 43 } &= 1670 \\ \mathrm{b}_{ 44 } &= 1715 \\ \mathrm{b}_{ 45 } &= 1757 \\ \mathrm{b}_{ 46 } &= 1788 \\ \mathrm{b}_{ 47 } &= 1814 \\ \mathrm{b}_{ 48 } &= 1833 \\ \mathrm{b}_{ 49 } &= 1846 \\ \mathrm{b}_{ 50 } &= 1848 \\ \mathrm{b}_{ 51 } &= 1846 \\ \mathrm{b}_{ 52 } &= 1833 \\ \mathrm{b}_{ 53 } &= 1814 \\ \mathrm{b}_{ 54 } &= 1788 \\ \mathrm{b}_{ 55 } &= 1757 \\ \mathrm{b}_{ 56 } &= 1715 \\ \mathrm{b}_{ 57 } &= 1670 \\ \mathrm{b}_{ 58 } &= 1618 \\ \mathrm{b}_{ 59 } &= 1561 \\ \mathrm{b}_{ 60 } &= 1500 \\ \mathrm{b}_{ 61 } &= 1436 \\ \mathrm{b}_{ 62 } &= 1366 \\ \mathrm{b}_{ 63 } &= 1294 \\ \mathrm{b}_{ 64 } &= 1222 \\ \mathrm{b}_{ 65 } &= 1147 \\ \mathrm{b}_{ 66 } &= 1072 \\ \mathrm{b}_{ 67 } &= 997 \\ \mathrm{b}_{ 68 } &= 922 \\ \mathrm{b}_{ 69 } &= 847 \\ \mathrm{b}_{ 70 } &= 777 \\ \mathrm{b}_{ 71 } &= 707 \\ \mathrm{b}_{ 72 } &= 640 \\ \mathrm{b}_{ 73 } &= 575 \\ \mathrm{b}_{ 74 } &= 515 \\ \mathrm{b}_{ 75 } &= 456 \\ \mathrm{b}_{ 76 } &= 404 \\ \mathrm{b}_{ 77 } &= 354 \\ \mathrm{b}_{ 78 } &= 308 \\ \mathrm{b}_{ 79 } &= 265 \\ \mathrm{b}_{ 80 } &= 228 \\ \mathrm{b}_{ 81 } &= 193 \\ \mathrm{b}_{ 82 } &= 163 \\ \mathrm{b}_{ 83 } &= 136 \\ \mathrm{b}_{ 84 } &= 112 \\ \mathrm{b}_{ 85 } &= 91 \\ \mathrm{b}_{ 86 } &= 74 \\ \mathrm{b}_{ 87 } &= 59 \\ \mathrm{b}_{ 88 } &= 46 \\ \mathrm{b}_{ 89 } &= 36 \\ \mathrm{b}_{ 90 } &= 27 \\ \mathrm{b}_{ 91 } &= 20 \\ \mathrm{b}_{ 92 } &= 15 \\ \mathrm{b}_{ 93 } &= 11 \\ \mathrm{b}_{ 94 } &= 7 \\ \mathrm{b}_{ 95 } &= 5 \\ \mathrm{b}_{ 96 } &= 3 \\ \mathrm{b}_{ 97 } &= 2 \\ \mathrm{b}_{ 98 } &= 1 \\ \mathrm{b}_{ 99 } &= 1 \end{align*}
Basic information
dimension
98
index
13
Euler characteristic
69120
Betti numbers
$\mathrm{b}_{ 1 } = 1$, $\mathrm{b}_{ 2 } = 1$, $\mathrm{b}_{ 3 } = 2$, $\mathrm{b}_{ 4 } = 3$, $\mathrm{b}_{ 5 } = 5$, $\mathrm{b}_{ 6 } = 7$, $\mathrm{b}_{ 7 } = 11$, $\mathrm{b}_{ 8 } = 15$, $\mathrm{b}_{ 9 } = 20$, $\mathrm{b}_{ 10 } = 27$, $\mathrm{b}_{ 11 } = 36$, $\mathrm{b}_{ 12 } = 46$, $\mathrm{b}_{ 13 } = 59$, $\mathrm{b}_{ 14 } = 74$, $\mathrm{b}_{ 15 } = 91$, $\mathrm{b}_{ 16 } = 112$, $\mathrm{b}_{ 17 } = 136$, $\mathrm{b}_{ 18 } = 163$, $\mathrm{b}_{ 19 } = 193$, $\mathrm{b}_{ 20 } = 228$, $\mathrm{b}_{ 21 } = 265$, $\mathrm{b}_{ 22 } = 308$, $\mathrm{b}_{ 23 } = 354$, $\mathrm{b}_{ 24 } = 404$, $\mathrm{b}_{ 25 } = 456$, $\mathrm{b}_{ 26 } = 515$, $\mathrm{b}_{ 27 } = 575$, $\mathrm{b}_{ 28 } = 640$, $\mathrm{b}_{ 29 } = 707$, $\mathrm{b}_{ 30 } = 777$, $\mathrm{b}_{ 31 } = 847$, $\mathrm{b}_{ 32 } = 922$, $\mathrm{b}_{ 33 } = 997$, $\mathrm{b}_{ 34 } = 1072$, $\mathrm{b}_{ 35 } = 1147$, $\mathrm{b}_{ 36 } = 1222$, $\mathrm{b}_{ 37 } = 1294$, $\mathrm{b}_{ 38 } = 1366$, $\mathrm{b}_{ 39 } = 1436$, $\mathrm{b}_{ 40 } = 1500$, $\mathrm{b}_{ 41 } = 1561$, $\mathrm{b}_{ 42 } = 1618$, $\mathrm{b}_{ 43 } = 1670$, $\mathrm{b}_{ 44 } = 1715$, $\mathrm{b}_{ 45 } = 1757$, $\mathrm{b}_{ 46 } = 1788$, $\mathrm{b}_{ 47 } = 1814$, $\mathrm{b}_{ 48 } = 1833$, $\mathrm{b}_{ 49 } = 1846$, $\mathrm{b}_{ 50 } = 1848$, $\mathrm{b}_{ 51 } = 1846$, $\mathrm{b}_{ 52 } = 1833$, $\mathrm{b}_{ 53 } = 1814$, $\mathrm{b}_{ 54 } = 1788$, $\mathrm{b}_{ 55 } = 1757$, $\mathrm{b}_{ 56 } = 1715$, $\mathrm{b}_{ 57 } = 1670$, $\mathrm{b}_{ 58 } = 1618$, $\mathrm{b}_{ 59 } = 1561$, $\mathrm{b}_{ 60 } = 1500$, $\mathrm{b}_{ 61 } = 1436$, $\mathrm{b}_{ 62 } = 1366$, $\mathrm{b}_{ 63 } = 1294$, $\mathrm{b}_{ 64 } = 1222$, $\mathrm{b}_{ 65 } = 1147$, $\mathrm{b}_{ 66 } = 1072$, $\mathrm{b}_{ 67 } = 997$, $\mathrm{b}_{ 68 } = 922$, $\mathrm{b}_{ 69 } = 847$, $\mathrm{b}_{ 70 } = 777$, $\mathrm{b}_{ 71 } = 707$, $\mathrm{b}_{ 72 } = 640$, $\mathrm{b}_{ 73 } = 575$, $\mathrm{b}_{ 74 } = 515$, $\mathrm{b}_{ 75 } = 456$, $\mathrm{b}_{ 76 } = 404$, $\mathrm{b}_{ 77 } = 354$, $\mathrm{b}_{ 78 } = 308$, $\mathrm{b}_{ 79 } = 265$, $\mathrm{b}_{ 80 } = 228$, $\mathrm{b}_{ 81 } = 193$, $\mathrm{b}_{ 82 } = 163$, $\mathrm{b}_{ 83 } = 136$, $\mathrm{b}_{ 84 } = 112$, $\mathrm{b}_{ 85 } = 91$, $\mathrm{b}_{ 86 } = 74$, $\mathrm{b}_{ 87 } = 59$, $\mathrm{b}_{ 88 } = 46$, $\mathrm{b}_{ 89 } = 36$, $\mathrm{b}_{ 90 } = 27$, $\mathrm{b}_{ 91 } = 20$, $\mathrm{b}_{ 92 } = 15$, $\mathrm{b}_{ 93 } = 11$, $\mathrm{b}_{ 94 } = 7$, $\mathrm{b}_{ 95 } = 5$, $\mathrm{b}_{ 96 } = 3$, $\mathrm{b}_{ 97 } = 2$, $\mathrm{b}_{ 98 } = 1$, $\mathrm{b}_{ 99 } = 1$
$\mathrm{Aut}^0(\mathrm{E}_{8}/\mathrm{P}_{3})$
adjoint group of type $\mathrm{E}_{ 8 }$
$\pi_0\mathrm{Aut}(\mathrm{E}_{8}/\mathrm{P}_{3})$
$1$
$\dim\mathrm{Aut}^0(\mathrm{E}_{8}/\mathrm{P}_{3})$
248
Projective geometry
minimal embedding

$\mathrm{E}_{8}/\mathrm{P}_{3}\hookrightarrow\mathbb{P}^{ 6695999 }$

degree
50977565117072727424953142274814106015982560278817610815084161391134769152000
Hilbert series
1, 6696000, 3754721200320, 381685932161088750, 10736931073672203345000, 109749414417460376126568000, 492857856408576376994810625000, 1117446409714022991737184491883000, 1421471992649065400418340532083920000, 1101475531614828226176100972502384640000, 555117888165451513731968763477876112097280, 191881555354969234862289927082276765783824000, 47522345316896591579201674566318193209956827752, 8745758901567026733656095134195705920608246695000, 1233284529098589196497616200440126735909933655840000, 136785542814570908676045353258124057098191018434066400, 12203002848388693229611643211411984515345851688093062500, 892826408680706909922092309733699304691677168692615000000, 54485283872355489956051960674271359127333503517578125000000, 2814722355713562257611652433995186567978593302743865966796875, ...
Exceptional collections

No full exceptional collection is known for $\mathbf{D}^{\mathrm{b}}(\mathrm{E}_{8}/\mathrm{P}_{3})$. Will you be the first to construct one? Let us know if you do!