A periodic table of (generalised) Grassmannians.
A1 |
ℙ1
\begin{align*}
d&=1 \\
i&=2 \\
\chi&=2
\end{align*}
|
||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
A2 |
ℙ2
\begin{align*}
d&=2 \\
i&=3 \\
\chi&=3
\end{align*}
|
ℙ2,∨
\begin{align*}
d&=2 \\
i&=3 \\
\chi&=3
\end{align*}
|
|||||
A3 |
ℙ3
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=4 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
Gr(2,4)
\begin{align*}
d&=4 \\
i&=4 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
ℙ3,∨
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=4 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
||||
A4 |
ℙ4
\begin{align*}
d&=4 \\
i&=5 \\
\chi&=5
\end{align*}
|
Gr(2,5)
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=5 \\
\chi&=10
\end{align*}
|
Gr(3,5)
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=5 \\
\chi&=10
\end{align*}
|
ℙ4,∨
\begin{align*}
d&=4 \\
i&=5 \\
\chi&=5
\end{align*}
|
|||
A5 |
ℙ5
\begin{align*}
d&=5 \\
i&=6 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
Gr(2,6)
\begin{align*}
d&=8 \\
i&=6 \\
\chi&=15
\end{align*}
|
Gr(3,6)
\begin{align*}
d&=9 \\
i&=6 \\
\chi&=20
\end{align*}
|
Gr(4,6)
\begin{align*}
d&=8 \\
i&=6 \\
\chi&=15
\end{align*}
|
ℙ5,∨
\begin{align*}
d&=5 \\
i&=6 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
||
A6 |
ℙ6
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=7 \\
\chi&=7
\end{align*}
|
Gr(2,7)
\begin{align*}
d&=10 \\
i&=7 \\
\chi&=21
\end{align*}
|
Gr(3,7)
\begin{align*}
d&=12 \\
i&=7 \\
\chi&=35
\end{align*}
|
Gr(4,7)
\begin{align*}
d&=12 \\
i&=7 \\
\chi&=35
\end{align*}
|
Gr(5,7)
\begin{align*}
d&=10 \\
i&=7 \\
\chi&=21
\end{align*}
|
ℙ6,∨
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=7 \\
\chi&=7
\end{align*}
|
|
A7 |
ℙ7
\begin{align*}
d&=7 \\
i&=8 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
Gr(2,8)
\begin{align*}
d&=12 \\
i&=8 \\
\chi&=28
\end{align*}
|
Gr(3,8)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=8 \\
\chi&=56
\end{align*}
|
Gr(4,8)
\begin{align*}
d&=16 \\
i&=8 \\
\chi&=70
\end{align*}
|
Gr(5,8)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=8 \\
\chi&=56
\end{align*}
|
Gr(6,8)
\begin{align*}
d&=12 \\
i&=8 \\
\chi&=28
\end{align*}
|
ℙ7,∨
\begin{align*}
d&=7 \\
i&=8 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
B2 |
Q3
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=3 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
ℙ3
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=4 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
|||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
B3 |
Q5
\begin{align*}
d&=5 \\
i&=5 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
OGr(2,7)
\begin{align*}
d&=7 \\
i&=4 \\
\chi&=12
\end{align*}
|
OGr(3,7)
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=6 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
||||
B4 |
Q7
\begin{align*}
d&=7 \\
i&=7 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
OGr(2,9)
\begin{align*}
d&=11 \\
i&=6 \\
\chi&=24
\end{align*}
|
OGr(3,9)
\begin{align*}
d&=12 \\
i&=5 \\
\chi&=32
\end{align*}
|
OGr(4,9)
\begin{align*}
d&=10 \\
i&=8 \\
\chi&=16
\end{align*}
|
|||
B5 |
Q9
\begin{align*}
d&=9 \\
i&=9 \\
\chi&=10
\end{align*}
|
OGr(2,11)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=8 \\
\chi&=40
\end{align*}
|
OGr(3,11)
\begin{align*}
d&=18 \\
i&=7 \\
\chi&=80
\end{align*}
|
OGr(4,11)
\begin{align*}
d&=18 \\
i&=6 \\
\chi&=80
\end{align*}
|
OGr(5,11)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=10 \\
\chi&=32
\end{align*}
|
||
B6 |
Q11
\begin{align*}
d&=11 \\
i&=11 \\
\chi&=12
\end{align*}
|
OGr(2,13)
\begin{align*}
d&=19 \\
i&=10 \\
\chi&=60
\end{align*}
|
OGr(3,13)
\begin{align*}
d&=24 \\
i&=9 \\
\chi&=160
\end{align*}
|
OGr(4,13)
\begin{align*}
d&=26 \\
i&=8 \\
\chi&=240
\end{align*}
|
OGr(5,13)
\begin{align*}
d&=25 \\
i&=7 \\
\chi&=192
\end{align*}
|
OGr(6,13)
\begin{align*}
d&=21 \\
i&=12 \\
\chi&=64
\end{align*}
|
|
B7 |
Q13
\begin{align*}
d&=13 \\
i&=13 \\
\chi&=14
\end{align*}
|
OGr(2,15)
\begin{align*}
d&=23 \\
i&=12 \\
\chi&=84
\end{align*}
|
OGr(3,15)
\begin{align*}
d&=30 \\
i&=11 \\
\chi&=280
\end{align*}
|
OGr(4,15)
\begin{align*}
d&=34 \\
i&=10 \\
\chi&=560
\end{align*}
|
OGr(5,15)
\begin{align*}
d&=35 \\
i&=9 \\
\chi&=672
\end{align*}
|
OGr(6,15)
\begin{align*}
d&=33 \\
i&=8 \\
\chi&=448
\end{align*}
|
OGr(7,15)
\begin{align*}
d&=28 \\
i&=14 \\
\chi&=128
\end{align*}
|
C2 |
ℙ3
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=4 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
Q3
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=3 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
|||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
C3 |
ℙ5
\begin{align*}
d&=5 \\
i&=6 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
SGr(2,6)
\begin{align*}
d&=7 \\
i&=5 \\
\chi&=12
\end{align*}
|
LGr(3,6)
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=4 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
||||
C4 |
ℙ7
\begin{align*}
d&=7 \\
i&=8 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
SGr(2,8)
\begin{align*}
d&=11 \\
i&=7 \\
\chi&=24
\end{align*}
|
SGr(3,8)
\begin{align*}
d&=12 \\
i&=6 \\
\chi&=32
\end{align*}
|
LGr(4,8)
\begin{align*}
d&=10 \\
i&=5 \\
\chi&=16
\end{align*}
|
|||
C5 |
ℙ9
\begin{align*}
d&=9 \\
i&=10 \\
\chi&=10
\end{align*}
|
SGr(2,10)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=9 \\
\chi&=40
\end{align*}
|
SGr(3,10)
\begin{align*}
d&=18 \\
i&=8 \\
\chi&=80
\end{align*}
|
SGr(4,10)
\begin{align*}
d&=18 \\
i&=7 \\
\chi&=80
\end{align*}
|
LGr(5,10)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=6 \\
\chi&=32
\end{align*}
|
||
C6 |
ℙ11
\begin{align*}
d&=11 \\
i&=12 \\
\chi&=12
\end{align*}
|
SGr(2,12)
\begin{align*}
d&=19 \\
i&=11 \\
\chi&=60
\end{align*}
|
SGr(3,12)
\begin{align*}
d&=24 \\
i&=10 \\
\chi&=160
\end{align*}
|
SGr(4,12)
\begin{align*}
d&=26 \\
i&=9 \\
\chi&=240
\end{align*}
|
SGr(5,12)
\begin{align*}
d&=25 \\
i&=8 \\
\chi&=192
\end{align*}
|
LGr(6,12)
\begin{align*}
d&=21 \\
i&=7 \\
\chi&=64
\end{align*}
|
|
C7 |
ℙ13
\begin{align*}
d&=13 \\
i&=14 \\
\chi&=14
\end{align*}
|
SGr(2,14)
\begin{align*}
d&=23 \\
i&=13 \\
\chi&=84
\end{align*}
|
SGr(3,14)
\begin{align*}
d&=30 \\
i&=12 \\
\chi&=280
\end{align*}
|
SGr(4,14)
\begin{align*}
d&=34 \\
i&=11 \\
\chi&=560
\end{align*}
|
SGr(5,14)
\begin{align*}
d&=35 \\
i&=10 \\
\chi&=672
\end{align*}
|
SGr(6,14)
\begin{align*}
d&=33 \\
i&=9 \\
\chi&=448
\end{align*}
|
LGr(7,14)
\begin{align*}
d&=28 \\
i&=8 \\
\chi&=128
\end{align*}
|
D3 |
Q4
\begin{align*}
d&=4 \\
i&=4 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
ℙ3
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=4 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
ℙ3
\begin{align*}
d&=3 \\
i&=4 \\
\chi&=4
\end{align*}
|
||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
D4 |
Q6
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=6 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
OGr(2,8)
\begin{align*}
d&=9 \\
i&=5 \\
\chi&=24
\end{align*}
|
Q6
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=6 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
Q6
\begin{align*}
d&=6 \\
i&=6 \\
\chi&=8
\end{align*}
|
|||
D5 |
Q8
\begin{align*}
d&=8 \\
i&=8 \\
\chi&=10
\end{align*}
|
OGr(2,10)
\begin{align*}
d&=13 \\
i&=7 \\
\chi&=40
\end{align*}
|
OGr(3,10)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=6 \\
\chi&=80
\end{align*}
|
OGr+(5,10)
\begin{align*}
d&=10 \\
i&=8 \\
\chi&=16
\end{align*}
|
OGr+(5,10)
\begin{align*}
d&=10 \\
i&=8 \\
\chi&=16
\end{align*}
|
||
D6 |
Q10
\begin{align*}
d&=10 \\
i&=10 \\
\chi&=12
\end{align*}
|
OGr(2,12)
\begin{align*}
d&=17 \\
i&=9 \\
\chi&=60
\end{align*}
|
OGr(3,12)
\begin{align*}
d&=21 \\
i&=8 \\
\chi&=160
\end{align*}
|
OGr(4,12)
\begin{align*}
d&=22 \\
i&=7 \\
\chi&=240
\end{align*}
|
OGr+(6,12)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=10 \\
\chi&=32
\end{align*}
|
OGr+(6,12)
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=10 \\
\chi&=32
\end{align*}
|
|
D7 |
Q12
\begin{align*}
d&=12 \\
i&=12 \\
\chi&=14
\end{align*}
|
OGr(2,14)
\begin{align*}
d&=21 \\
i&=11 \\
\chi&=84
\end{align*}
|
OGr(3,14)
\begin{align*}
d&=27 \\
i&=10 \\
\chi&=280
\end{align*}
|
OGr(4,14)
\begin{align*}
d&=30 \\
i&=9 \\
\chi&=560
\end{align*}
|
OGr(5,14)
\begin{align*}
d&=30 \\
i&=8 \\
\chi&=672
\end{align*}
|
OGr+(7,14)
\begin{align*}
d&=21 \\
i&=12 \\
\chi&=64
\end{align*}
|
OGr+(7,14)
\begin{align*}
d&=21 \\
i&=12 \\
\chi&=64
\end{align*}
|
E6 |
𝕆ℙ2
\begin{align*}
d&=16 \\
i&=12 \\
\chi&=27
\end{align*}
|
E6/P2
\begin{align*}
d&=21 \\
i&=11 \\
\chi&=72
\end{align*}
|
E6/P3
\begin{align*}
d&=25 \\
i&=9 \\
\chi&=216
\end{align*}
|
E6/P4
\begin{align*}
d&=29 \\
i&=7 \\
\chi&=720
\end{align*}
|
E6/P5
\begin{align*}
d&=25 \\
i&=9 \\
\chi&=216
\end{align*}
|
𝕆ℙ2,∨
\begin{align*}
d&=16 \\
i&=12 \\
\chi&=27
\end{align*}
|
||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
E7 |
E7/P1
\begin{align*}
d&=33 \\
i&=17 \\
\chi&=126
\end{align*}
|
E7/P2
\begin{align*}
d&=42 \\
i&=14 \\
\chi&=576
\end{align*}
|
E7/P3
\begin{align*}
d&=47 \\
i&=11 \\
\chi&=2016
\end{align*}
|
E7/P4
\begin{align*}
d&=53 \\
i&=8 \\
\chi&=10080
\end{align*}
|
E7/P5
\begin{align*}
d&=50 \\
i&=10 \\
\chi&=4032
\end{align*}
|
E7/P6
\begin{align*}
d&=42 \\
i&=13 \\
\chi&=756
\end{align*}
|
E7/P7
\begin{align*}
d&=27 \\
i&=18 \\
\chi&=56
\end{align*}
|
|
E8 |
E8/P1
\begin{align*}
d&=78 \\
i&=23 \\
\chi&=2160
\end{align*}
|
E8/P2
\begin{align*}
d&=92 \\
i&=17 \\
\chi&=17280
\end{align*}
|
E8/P3
\begin{align*}
d&=98 \\
i&=13 \\
\chi&=69120
\end{align*}
|
E8/P4
\begin{align*}
d&=106 \\
i&=9 \\
\chi&=483840
\end{align*}
|
E8/P5
\begin{align*}
d&=104 \\
i&=11 \\
\chi&=241920
\end{align*}
|
E8/P6
\begin{align*}
d&=97 \\
i&=14 \\
\chi&=60480
\end{align*}
|
E8/P7
\begin{align*}
d&=83 \\
i&=19 \\
\chi&=6720
\end{align*}
|
E8/P8
\begin{align*}
d&=57 \\
i&=29 \\
\chi&=240
\end{align*}
|
F4 |
F4/P1
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=8 \\
\chi&=24
\end{align*}
|
F4/P2
\begin{align*}
d&=20 \\
i&=5 \\
\chi&=96
\end{align*}
|
F4/P3
\begin{align*}
d&=20 \\
i&=7 \\
\chi&=96
\end{align*}
|
F4/P4
\begin{align*}
d&=15 \\
i&=11 \\
\chi&=24
\end{align*}
|
---|
G2 |
Q5
\begin{align*}
d&=5 \\
i&=5 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
G2/P2
\begin{align*}
d&=5 \\
i&=3 \\
\chi&=6
\end{align*}
|
---|
name(s) | |
---|---|
Dynkin diagram | |
dimension | |
index | |
Euler characteristic | |
type | |
a full exceptional collection | |
small quantum cohomology is | |
big quantum cohomology is |