\begin{equation} \DeclareMathOperator\Gr{Gr} \DeclareMathOperator\LGr{LGr} \DeclareMathOperator\OGr{OGr} \DeclareMathOperator\SGr{SGr} \DeclareMathOperator\Kzero{K_0} \DeclareMathOperator\index{i} \DeclareMathOperator\rk{rk} \end{equation}

Grassmannian.info

A periodic table of (generalised) Grassmannians.

  • has been constructed
  • has not yet been constructed
  • semisimple
  • not semisimple
  • unknown
  • generically semisimple
  • unknown
A1
ℙ1
\begin{align*} d&=1 \\ i&=2 \\ \chi&=2 \end{align*}
A2
ℙ2
\begin{align*} d&=2 \\ i&=3 \\ \chi&=3 \end{align*}
ℙ2,∨
\begin{align*} d&=2 \\ i&=3 \\ \chi&=3 \end{align*}
A3
ℙ3
\begin{align*} d&=3 \\ i&=4 \\ \chi&=4 \end{align*}
Gr(2,4)
\begin{align*} d&=4 \\ i&=4 \\ \chi&=6 \end{align*}
ℙ3,∨
\begin{align*} d&=3 \\ i&=4 \\ \chi&=4 \end{align*}
A4
ℙ4
\begin{align*} d&=4 \\ i&=5 \\ \chi&=5 \end{align*}
Gr(2,5)
\begin{align*} d&=6 \\ i&=5 \\ \chi&=10 \end{align*}
Gr(3,5)
\begin{align*} d&=6 \\ i&=5 \\ \chi&=10 \end{align*}
ℙ4,∨
\begin{align*} d&=4 \\ i&=5 \\ \chi&=5 \end{align*}
A5
ℙ5
\begin{align*} d&=5 \\ i&=6 \\ \chi&=6 \end{align*}
Gr(2,6)
\begin{align*} d&=8 \\ i&=6 \\ \chi&=15 \end{align*}
Gr(3,6)
\begin{align*} d&=9 \\ i&=6 \\ \chi&=20 \end{align*}
Gr(4,6)
\begin{align*} d&=8 \\ i&=6 \\ \chi&=15 \end{align*}
ℙ5,∨
\begin{align*} d&=5 \\ i&=6 \\ \chi&=6 \end{align*}
A6
ℙ6
\begin{align*} d&=6 \\ i&=7 \\ \chi&=7 \end{align*}
Gr(2,7)
\begin{align*} d&=10 \\ i&=7 \\ \chi&=21 \end{align*}
Gr(3,7)
\begin{align*} d&=12 \\ i&=7 \\ \chi&=35 \end{align*}
Gr(4,7)
\begin{align*} d&=12 \\ i&=7 \\ \chi&=35 \end{align*}
Gr(5,7)
\begin{align*} d&=10 \\ i&=7 \\ \chi&=21 \end{align*}
ℙ6,∨
\begin{align*} d&=6 \\ i&=7 \\ \chi&=7 \end{align*}
A7
ℙ7
\begin{align*} d&=7 \\ i&=8 \\ \chi&=8 \end{align*}
Gr(2,8)
\begin{align*} d&=12 \\ i&=8 \\ \chi&=28 \end{align*}
Gr(3,8)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=8 \\ \chi&=56 \end{align*}
Gr(4,8)
\begin{align*} d&=16 \\ i&=8 \\ \chi&=70 \end{align*}
Gr(5,8)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=8 \\ \chi&=56 \end{align*}
Gr(6,8)
\begin{align*} d&=12 \\ i&=8 \\ \chi&=28 \end{align*}
ℙ7,∨
\begin{align*} d&=7 \\ i&=8 \\ \chi&=8 \end{align*}
B2
Q3
\begin{align*} d&=3 \\ i&=3 \\ \chi&=4 \end{align*}
ℙ3
\begin{align*} d&=3 \\ i&=4 \\ \chi&=4 \end{align*}
B3
Q5
\begin{align*} d&=5 \\ i&=5 \\ \chi&=6 \end{align*}
OGr(2,7)
\begin{align*} d&=7 \\ i&=4 \\ \chi&=12 \end{align*}
OGr(3,7)
\begin{align*} d&=6 \\ i&=6 \\ \chi&=8 \end{align*}
B4
Q7
\begin{align*} d&=7 \\ i&=7 \\ \chi&=8 \end{align*}
OGr(2,9)
\begin{align*} d&=11 \\ i&=6 \\ \chi&=24 \end{align*}
OGr(3,9)
\begin{align*} d&=12 \\ i&=5 \\ \chi&=32 \end{align*}
OGr(4,9)
\begin{align*} d&=10 \\ i&=8 \\ \chi&=16 \end{align*}
B5
Q9
\begin{align*} d&=9 \\ i&=9 \\ \chi&=10 \end{align*}
OGr(2,11)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=8 \\ \chi&=40 \end{align*}
OGr(3,11)
\begin{align*} d&=18 \\ i&=7 \\ \chi&=80 \end{align*}
OGr(4,11)
\begin{align*} d&=18 \\ i&=6 \\ \chi&=80 \end{align*}
OGr(5,11)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=10 \\ \chi&=32 \end{align*}
B6
Q11
\begin{align*} d&=11 \\ i&=11 \\ \chi&=12 \end{align*}
OGr(2,13)
\begin{align*} d&=19 \\ i&=10 \\ \chi&=60 \end{align*}
OGr(3,13)
\begin{align*} d&=24 \\ i&=9 \\ \chi&=160 \end{align*}
OGr(4,13)
\begin{align*} d&=26 \\ i&=8 \\ \chi&=240 \end{align*}
OGr(5,13)
\begin{align*} d&=25 \\ i&=7 \\ \chi&=192 \end{align*}
OGr(6,13)
\begin{align*} d&=21 \\ i&=12 \\ \chi&=64 \end{align*}
B7
Q13
\begin{align*} d&=13 \\ i&=13 \\ \chi&=14 \end{align*}
OGr(2,15)
\begin{align*} d&=23 \\ i&=12 \\ \chi&=84 \end{align*}
OGr(3,15)
\begin{align*} d&=30 \\ i&=11 \\ \chi&=280 \end{align*}
OGr(4,15)
\begin{align*} d&=34 \\ i&=10 \\ \chi&=560 \end{align*}
OGr(5,15)
\begin{align*} d&=35 \\ i&=9 \\ \chi&=672 \end{align*}
OGr(6,15)
\begin{align*} d&=33 \\ i&=8 \\ \chi&=448 \end{align*}
OGr(7,15)
\begin{align*} d&=28 \\ i&=14 \\ \chi&=128 \end{align*}
C2
ℙ3
\begin{align*} d&=3 \\ i&=4 \\ \chi&=4 \end{align*}
Q3
\begin{align*} d&=3 \\ i&=3 \\ \chi&=4 \end{align*}
C3
ℙ5
\begin{align*} d&=5 \\ i&=6 \\ \chi&=6 \end{align*}
SGr(2,6)
\begin{align*} d&=7 \\ i&=5 \\ \chi&=12 \end{align*}
LGr(3,6)
\begin{align*} d&=6 \\ i&=4 \\ \chi&=8 \end{align*}
C4
ℙ7
\begin{align*} d&=7 \\ i&=8 \\ \chi&=8 \end{align*}
SGr(2,8)
\begin{align*} d&=11 \\ i&=7 \\ \chi&=24 \end{align*}
SGr(3,8)
\begin{align*} d&=12 \\ i&=6 \\ \chi&=32 \end{align*}
LGr(4,8)
\begin{align*} d&=10 \\ i&=5 \\ \chi&=16 \end{align*}
C5
ℙ9
\begin{align*} d&=9 \\ i&=10 \\ \chi&=10 \end{align*}
SGr(2,10)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=9 \\ \chi&=40 \end{align*}
SGr(3,10)
\begin{align*} d&=18 \\ i&=8 \\ \chi&=80 \end{align*}
SGr(4,10)
\begin{align*} d&=18 \\ i&=7 \\ \chi&=80 \end{align*}
LGr(5,10)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=6 \\ \chi&=32 \end{align*}
C6
ℙ11
\begin{align*} d&=11 \\ i&=12 \\ \chi&=12 \end{align*}
SGr(2,12)
\begin{align*} d&=19 \\ i&=11 \\ \chi&=60 \end{align*}
SGr(3,12)
\begin{align*} d&=24 \\ i&=10 \\ \chi&=160 \end{align*}
SGr(4,12)
\begin{align*} d&=26 \\ i&=9 \\ \chi&=240 \end{align*}
SGr(5,12)
\begin{align*} d&=25 \\ i&=8 \\ \chi&=192 \end{align*}
LGr(6,12)
\begin{align*} d&=21 \\ i&=7 \\ \chi&=64 \end{align*}
C7
ℙ13
\begin{align*} d&=13 \\ i&=14 \\ \chi&=14 \end{align*}
SGr(2,14)
\begin{align*} d&=23 \\ i&=13 \\ \chi&=84 \end{align*}
SGr(3,14)
\begin{align*} d&=30 \\ i&=12 \\ \chi&=280 \end{align*}
SGr(4,14)
\begin{align*} d&=34 \\ i&=11 \\ \chi&=560 \end{align*}
SGr(5,14)
\begin{align*} d&=35 \\ i&=10 \\ \chi&=672 \end{align*}
SGr(6,14)
\begin{align*} d&=33 \\ i&=9 \\ \chi&=448 \end{align*}
LGr(7,14)
\begin{align*} d&=28 \\ i&=8 \\ \chi&=128 \end{align*}
D3
Q4
\begin{align*} d&=4 \\ i&=4 \\ \chi&=6 \end{align*}
ℙ3
\begin{align*} d&=3 \\ i&=4 \\ \chi&=4 \end{align*}
ℙ3
\begin{align*} d&=3 \\ i&=4 \\ \chi&=4 \end{align*}
D4
Q6
\begin{align*} d&=6 \\ i&=6 \\ \chi&=8 \end{align*}
OGr(2,8)
\begin{align*} d&=9 \\ i&=5 \\ \chi&=24 \end{align*}
Q6
\begin{align*} d&=6 \\ i&=6 \\ \chi&=8 \end{align*}
Q6
\begin{align*} d&=6 \\ i&=6 \\ \chi&=8 \end{align*}
D5
Q8
\begin{align*} d&=8 \\ i&=8 \\ \chi&=10 \end{align*}
OGr(2,10)
\begin{align*} d&=13 \\ i&=7 \\ \chi&=40 \end{align*}
OGr(3,10)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=6 \\ \chi&=80 \end{align*}
OGr+(5,10)
\begin{align*} d&=10 \\ i&=8 \\ \chi&=16 \end{align*}
OGr+(5,10)
\begin{align*} d&=10 \\ i&=8 \\ \chi&=16 \end{align*}
D6
Q10
\begin{align*} d&=10 \\ i&=10 \\ \chi&=12 \end{align*}
OGr(2,12)
\begin{align*} d&=17 \\ i&=9 \\ \chi&=60 \end{align*}
OGr(3,12)
\begin{align*} d&=21 \\ i&=8 \\ \chi&=160 \end{align*}
OGr(4,12)
\begin{align*} d&=22 \\ i&=7 \\ \chi&=240 \end{align*}
OGr+(6,12)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=10 \\ \chi&=32 \end{align*}
OGr+(6,12)
\begin{align*} d&=15 \\ i&=10 \\ \chi&=32 \end{align*}
D7
Q12
\begin{align*} d&=12 \\ i&=12 \\ \chi&=14 \end{align*}
OGr(2,14)
\begin{align*} d&=21 \\ i&=11 \\ \chi&=84 \end{align*}
OGr(3,14)
\begin{align*} d&=27 \\ i&=10 \\ \chi&=280 \end{align*}
OGr(4,14)
\begin{align*} d&=30 \\ i&=9 \\ \chi&=560 \end{align*}
OGr(5,14)
\begin{align*} d&=30 \\ i&=8 \\ \chi&=672 \end{align*}
OGr+(7,14)
\begin{align*} d&=21 \\ i&=12 \\ \chi&=64 \end{align*}
OGr+(7,14)
\begin{align*} d&=21 \\ i&=12 \\ \chi&=64 \end{align*}
E6
𝕆ℙ2
\begin{align*} d&=16 \\ i&=12 \\ \chi&=27 \end{align*}
E6/P2
\begin{align*} d&=21 \\ i&=11 \\ \chi&=72 \end{align*}
E6/P3
\begin{align*} d&=25 \\ i&=9 \\ \chi&=216 \end{align*}
E6/P4
\begin{align*} d&=29 \\ i&=7 \\ \chi&=720 \end{align*}
E6/P5
\begin{align*} d&=25 \\ i&=9 \\ \chi&=216 \end{align*}
𝕆ℙ2,∨
\begin{align*} d&=16 \\ i&=12 \\ \chi&=27 \end{align*}
E7
E7/P1
\begin{align*} d&=33 \\ i&=17 \\ \chi&=126 \end{align*}
E7/P2
\begin{align*} d&=42 \\ i&=14 \\ \chi&=576 \end{align*}
E7/P3
\begin{align*} d&=47 \\ i&=11 \\ \chi&=2016 \end{align*}
E7/P4
\begin{align*} d&=53 \\ i&=8 \\ \chi&=10080 \end{align*}
E7/P5
\begin{align*} d&=50 \\ i&=10 \\ \chi&=4032 \end{align*}
E7/P6
\begin{align*} d&=42 \\ i&=13 \\ \chi&=756 \end{align*}
E7/P7
\begin{align*} d&=27 \\ i&=18 \\ \chi&=56 \end{align*}
E8
E8/P1
\begin{align*} d&=78 \\ i&=23 \\ \chi&=2160 \end{align*}
E8/P2
\begin{align*} d&=92 \\ i&=17 \\ \chi&=17280 \end{align*}
E8/P3
\begin{align*} d&=98 \\ i&=13 \\ \chi&=69120 \end{align*}
E8/P4
\begin{align*} d&=106 \\ i&=9 \\ \chi&=483840 \end{align*}
E8/P5
\begin{align*} d&=104 \\ i&=11 \\ \chi&=241920 \end{align*}
E8/P6
\begin{align*} d&=97 \\ i&=14 \\ \chi&=60480 \end{align*}
E8/P7
\begin{align*} d&=83 \\ i&=19 \\ \chi&=6720 \end{align*}
E8/P8
\begin{align*} d&=57 \\ i&=29 \\ \chi&=240 \end{align*}
F4
F4/P1
\begin{align*} d&=15 \\ i&=8 \\ \chi&=24 \end{align*}
F4/P2
\begin{align*} d&=20 \\ i&=5 \\ \chi&=96 \end{align*}
F4/P3
\begin{align*} d&=20 \\ i&=7 \\ \chi&=96 \end{align*}
F4/P4
\begin{align*} d&=15 \\ i&=11 \\ \chi&=24 \end{align*}
G2
Q5
\begin{align*} d&=5 \\ i&=5 \\ \chi&=6 \end{align*}
G2/P2
\begin{align*} d&=5 \\ i&=3 \\ \chi&=6 \end{align*}

Information

name(s)
Dynkin diagram
dimension
index
Euler characteristic
type
a full exceptional collection
small quantum cohomology is
big quantum cohomology is